乘同余法伪随机分布调频加网方法研究 (1)

　　调频加网是80年代初开始研究、90年代推入市场的一项全新技术，其特征是在相当于调幅网点的单位区域（网格）内，着墨点微粒（目前名称尚不统一，本文中称为点元素）大小一样，位置随机分散分布，其分布的疏密程度，即空间分布频率是图象阶调信息的函数，因此称为调频加网（FMS?FrequencyModulationScreening）。在调频加网的图象中，单位网格中只有一定数目的随机分布的点元素，整体上看不到传统的“网点”，点元素分布是无规律的，因此不存在网屏的角度问题，从根本上消除了干涉条纹，也无中间调层次跳跃现象，层次再现均匀美观。由于点元素很小，大大提高了图象的解象力和清晰度，用低分辨率即可得到高分辨率调幅网的细微层次，高调处点元素重叠少，可使印品彩度增加。由于没有网角的概念，反而对印刷设备的套印精度要求不高，这就为普通印刷厂用中档激光照排机和印刷机印制高质量的彩色印品提供了可能。调频加网技术由于其突出的优点，一出现即受到人们的重视。几年来发展迅速，AGFA、Linotype-Hell、UGRA/KOHAN、日本网屏等公司相继推出自己的调频加网技术，在胶印、柔性版印刷、新闻印刷等领域有着极佳的发展前景。但由于调频加网着墨点很小，因而对纸张、油墨及设备的适性要求高，在推广应用上存在难题。研究开发适于一般印刷条件的调频加网理论和技术，并在生产中推广应用，是我国印刷界的紧迫任务。

　　1.点元素随机分布原理

　　图1是灰度值为24时调幅网点与调频网点结构对比示意图（点阵数取8×8，灰度级数为64+1）。采用激光电子加网系统实现调幅加网时，将输入图象象素的灰度值与网点模型存储器（SPM）中的加网阈值相比较，如前者大于等于后者，则激光束曝光，产生着墨点，否则不曝光。加网阈值在单元网格内规则排列，自网格中心到网格边缘，加网阈值由小到大逐渐增大，从而保证随着象素灰度值的由小到大，形成的网点由网格中心向四周扩张，直到布满整个网格。由此可知，要使着墨点在网格内无规则地分散分布，其关键是打破网点模型存储器中的阈值分布规律，使由输入图象象素灰度值决定的若干个着墨点在单位网格中随机且均匀地散开，即建立在单位网格范围内分配点元素的随机数序列。图1右侧示出按某种算法实现的调频加网点元素的分布顺序。不过为了避免同一灰度值网点分布状况雷同，在调频加网中一般不做成固定的网点模型存储器，即使象素灰度值相同，点元素个数相同，但分布的顺序可以不同，从而实现随机加网。

　　产生真正的随机数一般需要采用物理方法，如利用放射性物质的放射性，或用电子计算机的固有噪声。但这样的随机数序列无法重复实现，无法进行程序复算，验证困难。而且要增添随机数发生器和电路联系等附加设备，费用昂贵。因此，实用上都采用数学递推公式产生，如对于给定的初始值ξ1，确定ξn+1（n=1，2，…）。这种方法属于半经验性质，只能近似地具备随机数性质，故称为伪随机数。采用伪随机数存在两大问题:一是递推公式和初始值确定后，整个随机数序列也被唯一地确定下来，即不能满足随机数相互独立的要求；二是由此产生的随机数存在周期性循环现象。因此，采用伪随机方法实现随机加网时，必须适当选择产生伪随机数的递推公式，努力提高伪随机数的独立性，且在网格范围内均匀分布，同时必须保证伪随机数的周期大于网格内点元素的总个数。

　　2.乘同余伪随机加网方法

　　由于本研究的首要目标是探讨在DTP系统中实现调频加网的基本技术，对于递推公式细致的比较研究留待以后进行。故在产生伪随机数的数学方法中，笔者首选统计性质较好、产生随机数方便快捷、使用较广的乘同余法。其递推公式为Xi+1=AXi（modM）（2）即下一个随机数是上一个随机数乘以A对M取余而得到的，因此称为乘同余法。在乘同余法中，如何选用X0、A、M这三个参数，是决定能否快速产生符合要求的随机数序列的关键。据文献介绍，通常为M=2l　A=8q±3X0=2t+1（3）其中l、q、t均取正整数，且要求M与X0互素，X0与A互素。式（3）中的M实际上是能产生的随机数的周期，要求的随机数周期要比能产生的随机数周期要小，一般取要求的随机数周期为M/4，而系数A一般取与A 2l/2最接近的值，同时又满足公式A=8q±3。对于随机加网来说，通常网点点阵结构取16×16，要求随机数在1～256之间，因此我们取M=256×4=1024，即l=10。而2l/2=210/2=32，取A=35，29，43，37，27，21（即q分别为4，5，3），取X0=1，经验算其结果如表1所示。如将大于256的随机数再用256取余，则每个随机数出现4次重码。X0取其它奇数结果相同，取偶数时则周期T变小。由此可见参数不能这样选取。文献[4]指出，取M=2l，其中l是数字计算机上一个数字尾部的字长，这时产生随机数的最大可能周期为T=2l-2。理论分析和统计检验表明，A取值过小或它的二进制形式中0、1呈规则性排列时，都不能产生统计性质理想的随机数序列。特别对乘同余法可取：A=52s+1（4）

　　由表2可知，尽管最大周期数如文献所述T=2l-2，但是1～256之间的随机数个数均为64，余者不能直接使用，即使再次用256取余，也是出现多次重码，因此参数也不能采用这种选法。

    经过反复实验，笔者发现当M取2l左右的素数，例如M=1021、1019、1033时，A取适当的正整数（偶数、奇数均可），所产生的随机数最大周期为T=M-1，小于256的随机正整数正好为256个（关于任意素数M，使其产生的伪随机数最大周期等于M-1的充要条件的数学原理证明，另文讨论）。

来源：西安理工大学学报